中学で習ったけど忘れがちな「図形問題」の見方と基礎知識【その1】

 

  • 本記事の内容
  • 図形の基本は三角形と円!「点⇔線⇔面⇔立体」の目線を鍛えよう!
  • 三角形についてしっかり理解しておこう!【絶対覚える三角形と多角形の関係】
この記事を書いたのは誰?
この記事を書いている私は、受験指導歴8年の現役塾講師です。 出身は岩手県で、立命館大学に進学・卒業した後、大手塾講師として200人以上の中高生の勉強相談に答えてきました。

図形の基本は三角形と円!「点⇔線⇔面⇔立体」の目線を鍛えよう!

まずは三角形バージョン

基本的に図形でおさえておきたいものは、三角形と円です。

さて、三角形を考えましょう。 三角形△ABCについて、∠ABC… と言われたら、すぐにどこを見ますか?

実際のところ、すぐに点Bを見る生徒が少なかったりします。

 

みなさんもそうだとしたら、∠ABCとみたら、ソッコーで点Bから辺を渡って、他の点AとCを見つめるクセをつけてください♪

 

合同や相似の問題で考えてみます。

 

$∠BAD=∠BCAのとき、△ABCと相似の図形を答えてください。$
【答え】△DBA

 

 

先に答えを行ってしまうと、△DBAとなります。

 

二つの図を、同じ角(点)ごとに合わせて書き換えて....

 

 

こうすると、△BAC ∽ △BDA とみやすいと思いますが、ここで気をつけてほしいこと… △ABCと相似となっているので、順番も対応する同じ角で答えてくださいね♬

ということで、△BAC を △ABCにしていくと、△DBAとなります。

 

こんな感じで、ちゃんと点を対応させたり、証明するための点をしっかり見据えていくことが必要になります!

どこを見て、どの部分を対応させるかを考えてみてくださいね。

 

今回はパスしますが、立体でも同じです。計算しやすい面を取るために、点を三点以上取って、面を切り抜くことがポイントになるんです。

どこから切り取って、どこから分析するかを、きちんと染み込ませていくようにしましょうね。

 

続いて円バージョン

 

円の公式を思い出してみてください。面積と演習、迷われる方は必見です。

 

  • 円周の公式:$2πr$
  • 円の面積:$πr^2$

 

これを間違える人が結構多いのですが、カンタンに言うと、四角形や三角形の面積って、縦横と㎝などの単位のものを二回かけているので、c㎡となりますよね。

 

ということは、円の面積も、何かの長さを二回かけている、ということになります。

 

ちなみに、直径は、円の筒みたいになっているものなら、ひもを使って端っこから端っこで、一番長くとれる長さが直径になります。もちろん、長さなので、㎝などの単位になりますし、二乗が単位に乗っかることもありません。

 

同じように、ひもを使って円筒を調べれば、円周を計ると、毎回3.14…倍になってる、というところから分析できるわけです。

 

じゃあ、円の場合はどこから見るべきか、点なんかないじゃないか!という声が聞こえてきそうです。円の場合は、中心を観ましょう!

 

 

円は、「ある点から等しい長さの点の集合」になります。ある点とは、中心のことです。毎回中心を意識して分析していくようにしましょう!

 

さて、円と三角形などについて、ちょっとだけ見ていくことにします。

 

中心から、円周にテキトーに点を2個おいてあげて、直線を引きます。もちろんいつでも長さは一緒になるので、必ず中心から引いて三角形を作ると、二等辺三角形になります。

 

ということは、円に直線を引く、という場合は基本、二等辺三角形を作る可能性が高い、と言えます。

 

また、垂線について考えましょう。

垂線の「垂」の字は「たれる」です。重力に逆らわなければ、垂直に垂れる、ということになります。

 

ここで、先ほどの三角形の一番長い線に、中心から垂線を下すと、もちろん直角三角形が二つできます。

 

二等辺三角形は、直角三角形とも相性がいいことを覚えておくと、いろんなことに役立ちますよ。

 

三角形についてしっかり理解しておこう!【絶対覚える三角形と多角形の関係】

1.図形は「点→線→面→立体」で考えよう

図形を考えるときには、まず点をしっかり意識するとスッキリします。角って点なので、例えばABC∽DEFなら… Aの点とDの点を見比べてね!

 

という指示になります。並びが一緒なら、ABの辺とDEの辺が一緒という意味になります。

前の項と同じですが、しっかり見る部分を意識して分析するレベルを考えましょう!

 

2.【三角形】内積の和180°を利用すると...

長辺が同じ三角形を2つくっつけると、四角形になります。次にまた、どこかの辺に三角形を足すと、四角形になります。さらにどこかの辺に三角形をたすと、五角形…ってことは、多角形の基礎は三角形を足すことになります。

 

つまり、内角の和の公式って、これで分かるってことになるんです!

 

内角の和の公式:180×(n―2)

 

これは、三角形が何個ありますか? という意味になります。

 

ですので、点や線などをどのように組めば、理解しやすいのかをしっかり分析し、そして書き直したりしながら、分析するクセをつけましょう! すべての多角形の基本は三角形なので、多角形も三角形を使って分析してみるといいでしょう。

 

次回からは、もっと数学チックな話になります。図形と計量の関係を考えていきましょう!