三角比の基本【数学1(図形と計量)】

図形問題が苦手な人「図形と計量が全く分かりません。三角比の基本から教えてください!

 

 

この記事ではこんな疑問に答えています。

 

  • 本記事のテーマ
$sin\theta \, \, cos\theta \, \, tan\theta \, \,$の意味を考えよう!

 

  • 本記事の授業内容
  • 三角比の相互関係について
  • $180°-\theta \,$とか$\, 90°-\theta \, $について
  • 正弦定理をもっと知ろう
  • 余弦定理をもっと知ろう

 

本記事を読むことで「中学で習ったけど高校でも役立つ”忘れがちな知識”」を再確認できます。

図形の基本のキから、図形ごとの見方、公式の使い方までわかりやすく解説しているので、ぜひマスターして帰って下さい!

この記事を書いたのは誰?
この記事を書いている私は、受験指導歴8年の現役塾講師です。 小中高と岩手ですごしたのち立命館大学に進学、卒業後は大手塾講師としてスカウトされ、のべ200人以上の中高生の勉強相談に答えてきました。

三角比の相互関係について

 

前回ちょっと三角比の意味をお話しました。条件は…

でした。ここで、

 

これより、

 

また、三平方の定理を考えると、

 

ということで、

 

この三つを確認して覚えておいてくださいね。

 

$180°-\theta \,$とか$\, 90°-\theta \, $について

 

$180°-\theta \,$や$\, 90°-\theta \, $については、単位円先生の助けを借りれば理解しやすいかな、と思います。

 

基本的には、$\, 90°-\theta \, $を一つ持った、直角三角形を考えるようにしましょう!

 

ということで、$P(cos\theta \, sin\theta)$として見ていくことにします。

 

これを反対にして、

あとは…

直線$=180°$と組み合わせれば…

この状態で、もう一度、単位円と組み合わせてみます。

ここで、180°(OXの直線)から、θ分もどした点をQとすれば、

$Q(cos(180°-\theta)\,sin(180°-\theta))$と表せます。

 

  • $P( cosθ , sinθ )$
  • $Q( cos(180°- θ) , sin(180°- θ) )$

 

 

$sin$や$cos$は長さを表しています。座標平面と比べると、

底辺の長さは $cosθ$と一緒ですが、Q’はマイナスのほうにいきます。

 

$P( cosθ , sinθ )$

$Q( cos(180°- θ) , sin(180°- θ) )$

 

$cos(180°- θ)= -cosθ$

$sin(180°- θ) = sinθ$

 

となります。これがわかると、

180°- θ について

$cos(180°- θ)= -cosθ$

$sin (180°- θ) = sinθ$

ということが分かるかと思います。

 

今度はこんな図を考えてみましょう。

 

P(cosθ,sinθ)なので、当然OPの長さを1で考えています。

ここで、同じ三角形を回転させてひっくり返すと、

こんな感じになります。これを先ほどの図に入れて

 

X軸とY軸は常に垂直90°で交わっているので、

OQがなす角は…

 

$90°-θ$となります。

ということで、

$Q(sinθ,cosθ)$と $P(cosθ,sinθ)$について考えてみましょう。

 

単位円と組合せてみてみると、

 

$Q(sinθ,cosθ)$と $P(cosθ,sinθ)$

 

Qの座標は

$Q(cos(90° -θ),sin(90° -θ))$と

同じになります!

 

ということで、長さに注目しながら、

$sinθ=sin(90° -θ)$

$cosθ=cos(90° -θ)$と

同じになります!

 

直角三角形を意識して、分析してみると、三角比sinやcosも、

単なる長さということに気づけると思います。

あとはどう移動したのか、分析してみましょう!

慣れてくると、ちょっと単位円を使えば、

180° + θ や90°+θも理解できると思います。

是非試してみてくださいね♬