一次不等式の応用問題パターン+解き方まとめ【文章題の攻略法あり】

一次不等式の応用問題で、いつも手が止まります…
特に、連立不等式の解き方や、文章問題の攻略法がまったく分からず、正直(テストに向けて)不安しかないです。試験でよく出る一次不等式の応用問題パターンがあれば、解き方やコツを教えてください!

 

この記事では、こういった疑問に答えます。

 

  • 本日の授業テーマ
一次不等式のよくある応用問題+解き方まとめ【文章題の攻略法あり】

 

  • 本日の授業内容

 

上のリンクをクリックして、自分が苦手だと感じている問題だけにチャレンジしてもOK。

一次不等式の応用問題で困ったときは、いつでもこの記事に遊びに来てください。

 

不等式の基礎知識については、以下の記事でサクッと確認できます。

不等式の5つの性質を”10秒以内”にパッと思い出せない方は、応用問題を解く前に一度、目を通しておくと良いでしょう。

 

》参考:5秒で理解する不等式の性質まとめ|高校生が必ずつまづく基礎問題付き

 

一次不等式の応用問題の解き方|「計算問題」編

 

一次不等式の試験で頻出する応用問題の一つが、少数・分数を含んだ計算問題です。

少数や分数を整数に直す過程で計算ミスしてしまわないよう、慎重に解いていきましょう。

 

  • $0.3x-5.1>-0.2(x+0.3)$
  • $x+\dfrac{1}{6}≧\dfrac{5x}{3}-\dfrac{5}{2}$

》スキップ:「xの値の範囲を求めよ」編

》リターン:目次

問題|少数を含む一次不等式の解き方

問題|$0.3x-5.1>-0.2(x+0.3)$
答え|$x>\dfrac{50.4}{5}$

 

少数を整数に直すため、両辺に10を掛けて

$$3x-51>-2(x+0.3)$$

$$※0.3は整数に直らないことに注意$$

 

右辺の $()$ を外して

$$3x-51>-2x-0.6$$

 

左辺に $x$ を、右辺にその他をまとめると

$$5x>50.4$$

 

よって、答えは

$$x>\dfrac{50.4}{5}・・・(答え)$$

 

問題|分数を含む一次不等式の解き方

問題|$x+\dfrac{1}{6}≧\dfrac{5x}{3}-\dfrac{5}{2}$
答え|$x≦4$

 

分数を整数に直すため、両辺に $6$ を掛けると

$$6x+1≧10x-15$$

 

左辺に $x$、右辺にその他をまとめると

$$-4x≧-16$$

 

両辺に $-1$ を掛けて

$$4x≦16$$

 

両辺を $4$ で割ると、答えは

$$x≦4・・・(答え)$$

 

 

さらに問題を解きたい方は、以下の記事からどうぞ!

分数・少数を含む一次不等式の練習問題を5つ以上解説しています。

 

》参考:分数・少数を含む一次不等式の解き方+練習問題5選【文章題つき】

一次不等式の応用問題の解き方|「xの値の範囲を求めよ」編

 

続いては「xの値の範囲を求めよ」系の応用問題。

こういった問題を解くコツは、数直線を利用しながら、文字・式の値の範囲や関係性を明確に意識することです。

 

しっかりと問題文を読みこんで、油断せず解いていきましょう!

 

  • $6x+8(4-x)>5を満たす、2桁の自然数xをすべて求めよ。$
  • $不等式$$x<\dfrac{3a-2}{4}$$を満たすxの最大の$$整数値が5である$$とき、定数aの値の$$範囲を求めよ。$

》スキップ:「絶対値を含む不等式」編

》リターン:目次

問題|「2桁の自然数xをすべて求めよ」

問題①|$6x+8(4-x)>5$ を満たす、2桁の自然数xをすべて求めよ
答え|$10,11,12,13$

 

まずは左辺の $()$ を外して

$$6x+32-8x>5$$

 

左辺に $x$、右辺にその他をまとめて

$$-2x>-27$$

 

両辺に $-2$ を掛けて

$$x<\dfrac{27}{2}$$

$$符号が変わっていることに注意$$

 

すなわち、xの値の範囲は $x<13.5$であり、これを満たす「2桁の自然数x」は

$$10,11,12,13・・・(答え)$$

 

 

問題|「定数aの値の範囲を求めよ」

問題②|不等式$x<\dfrac{3a-2}{4}$ を満たす $x$ の最大の整数値が $5$ であるとき、定数$a$の値の範囲を求めよ
答え|$\dfrac{22}{3}<a≦\dfrac{26}{3}$

 

$x<\dfrac{3a-2}{4}$ を満たすxの最大の整数値が5であるから

$$5<\dfrac{3a-2}{4}≦6・・・(※)$$

 

 

各辺に $4$ を掛けて

$$20<3a-2≦24$$

 

各辺に $2$ を足して

$$22<3a≦26$$

 

各辺を $3$ で割って

$$\dfrac{22}{3}<a≦\dfrac{26}{3}・・・(答え)$$

 

 

  • $(※)$ は、連立不等式として解いてもOK!
$(※)$ の式は、以下のように連立不等式として解くこともできる。$$\left\{%
\begin{array}{l}
5<\dfrac{3a-2}{4}・・・①\\
\dfrac{3a-2}{4}≦6・・・②
\end{array}
\right.$$①より$$\dfrac{22}{3}<a・・・①$$②より$$a≦\dfrac{26}{3}・・・②$$①と②の共通範囲を求めて$$\dfrac{22}{3}<a≦\dfrac{26}{3}・・・(答え)$$

 

一次不等式の応用問題の解き方|「絶対値を含む不等式」編

 

高校一年生が最初につまづくのが、この「絶対値を含む一次不等式」だと思います。

 

絶対値問題には場合分けが付きもの。

不等式の性質もしっかりと意識しつつ、ミスの無いように場合分けを進めましょう。

 

  • $|2x+1|-1≧0を解け$
  • $|3x-4|<2xを解け$

》スキップ:「連立一次不等式」編

》リターン:目次

問題①|絶対値を含む一次不等式

問題|$|2x+1|-1≧0$ を解け
答え|$x≦-1,0≦x$

 

絶対値の中身が正の時と、負の時とで場合分けすると

$Ⅰ)2x+1≧0$ のとき

絶対値記号を外して

$$2x+1-1≧0$$

$$2x≧0$$

$$x≧0・・・Ⓐ$$

 

$Ⅱ)2x+1<0$ のとき

絶対値記号を外して

$$-(2x+1)-1≧0$$

$$-2x-2≧0$$

 

各辺を $-2$ で割って

$$x+1≦0$$

$$※不等号の向きが逆転していることに注意$$

 

最後に $1$ を右辺に移項して

$$x≦-1・・・Ⓑ$$

 

ⒶⒷより

$$x≦-1,または0≦x・・・(答え)$$

 

問題②|絶対値を含む一次不等式

問題|$|3x-4|<2x$ を解け
答え|$x≦-1,0≦x$

 

絶対値の中身が正の時と、負の時とで場合分けすると

$Ⅰ)3x-4≧0$ のとき

絶対値記号を外して

$$3x-4<2x$$

 

左辺にx、右辺にその他をまとめると

$$3x-2x<4$$

$$x<4・・・Ⓐ$$

 

$Ⅱ)3x-4<0$ のとき

絶対値記号を外して

$$-(3x-4)<2x$$

$$-3x+4<2x$$

 

左辺にx、右辺にその他をまとめると

$$-3x-2x<-4$$

$$-5x<-4$$

 

両辺を $-5$ で割って

$$x>\dfrac{4}{5}$$

$$\dfrac{4}{5}<x・・・Ⓑ$$

$$※不等号の向きが逆転していることに注意$$

 

ⒶⒷの共通範囲を求めると

$$\dfrac{4}{5}<x<4・・・(答え)$$

 

一次不等式の応用問題の解き方|「連立一次不等式」編

 

一見難しく見える連立一次不等式ですが、実は割と簡単。

 

やるべきことは『それぞれの一次不等式を解いて範囲を合わせる』。

これだけでして、あとは問題文を理解できれば大抵の問題は楽勝です。

 

$x$についての連立不等式
$$\left\{%
\begin{array}{l}
3a+1<x・・・Ⓐ\\
2x-1>6(x-2)・・・Ⓑ
\end{array}
\right.$$
について、次の条件を満たす$a$の値の範囲を求めよ。ただし、$a$は定数である。

 

  • ①連立不等式の解が存在しない
  • ②連立不等式の解に2が含まれる
  • ③連立不等式の解に入る整数が3つだけとなる

》スキップ:「文章問題」編

》リターン:目次

問題①|連立不等式の解が存在しない

問題|連立不等式の解が「存在しない」とき、$a$の値の範囲を求めよ
答え|$a<\dfrac{11}{4}$

 

$$\left\{%
\begin{array}{l}
3a+1<x・・・Ⓐ\\
2x-1>6(x-2)・・・Ⓑ
\end{array}
\right.$$

 

Ⓑより

$$2x-1>6x-12$$

$$11>4x$$

$$\dfrac{11}{4}>x$$

 

よって、$x$の値の範囲は
$$\left\{%
\begin{array}{l}
3a+1<x・・・Ⓐ\\
x<\dfrac{11}{4}・・・Ⓑ
\end{array}
\right.$$

 

連立不等式の解が存在しない(=ⒶとⒷの範囲が重ならない)ための条件は、

$$\dfrac{11}{4}≦3a+1・・・(条件)$$

 

(条件)より、両辺に $4$ を掛けて

$$11≦12a+4$$

$$7≦12a$$

 

よって

$$\dfrac{7}{12}≦a・・・(答え)$$

 

問題②|連立不等式の解に2が含まれる

問題|連立不等式の解に「2」が含まれるとき、$a$の値の範囲を求めよ
答え|$a<\dfrac{1}{3}$

 

$$\left\{%
\begin{array}{l}
3a+1<x・・・Ⓐ\\
x<\dfrac{11}{4}・・・Ⓑ
\end{array}
\right.$$

 

連立不等式の解に「2」が含まれる(=ⒶとⒷの間に2が存在する)ための条件は、

$$3a+1<2・・・(条件)$$

 

(条件)より

$$3a<-1$$

$$a<-\dfrac{1}{3}・・・(答え)$$

 

問題③|連立不等式の解に入る整数が3つだけとなる

問題|連立不等式の解に入る整数が「3つ」だけのとき、$a$の値の範囲を求めよ
答え|$-\dfrac{2}{3}≦a<-\dfrac{1}{3}$

 

$$\left\{%
\begin{array}{l}
3a+1<x・・・Ⓐ\\
x<\dfrac{11}{4}・・・Ⓑ
\end{array}
\right.$$

Ⓑは、$x<2.75$ であるから、解に入る整数が3つだけのとき、その整数の値は

$$x=0,1,2$$

 

すなわちこの問題は、ⒶⒷを同時に満たす整数解が $0,1,2$ のみになる、$a$ の値の範囲を求めればよい。

 

よって、条件は

$$-1≦3a+1<0・・・(条件)$$

 

(条件)より、各辺に $-1$ を足して

$$-2≦3a<-1$$

 

各辺を $3$ で割って

$$-\dfrac{2}{3}≦a<-\dfrac{1}{3}・・・(答え)$$

 

一次不等式の応用問題の解き方|「文章問題」編

 

一次不等式の応用問題と聞いて、パッと思い浮かぶのが「文章問題」だと思います。

まず、文章を理解するのが面倒ですよね(笑)

 

一次不等式の文章問題を解くコツは、『問題文を読みつつ、各文字・数値の関係を図示する』こと。

慣れるまではしっかりと図を書きつつ、聞かれている内容を丁寧に理解することが重要です。

 

  • 16% の食塩水が 150g ある。これに水を加えることで、5%以上10%以下 の食塩水を作りたい。加える水の重さの範囲を求めよ。
  • 地点Aから地点Bまでの距離は 5km 離れている。地点Aからスタートし、はじめは 毎時6km の速さで歩き、途中から 時速11km の速さで走った。スタートしてから 30分~45分 で地点Bに到着したい場合、時速11km で走る距離を何km以上何km以下にすればいいかを求めよ。
  • ある物質を水で溶かした 1%、5%、10% の水溶液がある。これら2種または3種の水溶液を混ぜ合わせて、7.3% の水溶液を 100g作る場合、1%水溶液は何gまで使用することが可能か。また、10%水溶液の使用にはどのような制限があるか。

》リターン:目次

問題①|食塩水の重さの範囲

16% の食塩水が 150g ある。これに水を加えることで、5%以上10%以下 の食塩水を作りたい。加える水の重さの範囲を求めよ。
答え|$90≦x≦330$

 

$16$%の食塩水だから、仮に食塩水の量が$100g$なら食塩の量は$16g$。

今回は食塩水が$150g$あるので、食塩の量は$16×1.5倍$で$24g$であることが分かる。

 

また、次のように比例式で計算することもできる。

 

$16$% : $100$% = $xg$ : $150g$

$(食塩の割合$:$全体の割合$=$食塩の量$:$全体の量)$

$$100×x=16×150$$

$$100x=2400$$

$$x=24$$

 

同じように$5$%の食塩水なら、今回は食塩水が$150g$だから、加える水の量を$x$とすると次の比例式が成り立つ。

 

$5$% : $100$% = $24g$ : $(150+x)g$

※食塩の量(24g)は変わらない

これを解くと

$$100×24=5×(150+x)$$

両辺を5で割って

$$20×24=150+x$$

$$480-150=x$$

$$330=x・・・Ⓐ$$

 

Ⓐを導き出したのと同様の手順で、$10$%の食塩水を作るときに加えた水の量$x$を計算すると、

 

$10$% : $100$% = $24g$ : $(150+x)g$

$$10×24=150+x$$

$$240-150=x$$

$$90=x・・・Ⓑ$$

 

ⒶⒷより、5%以上10%以下の食塩水を作るために加える水の重さの範囲は

$$90≦x≦330・・・(答え)$$

 

加える水の量が90gより少ないと、10%超過の食塩水ができてしまうし、330gより多いと、5%未満の食塩水になる。

 

問題②|走る時間

地点Aから地点Bまでの距離は 5km 離れている。地点Aからスタートし、はじめは 毎時6km の速さで歩き、途中から 時速11km の速さで走った。スタートしてから 30分~45分 で地点Bに到着したい場合、時速11km で走る距離を何km以上何km以下にすればいいかを求めよ。
答え|

 

時速$11km$で走った距離を$Xkm$とすると、時速$6km$で歩いた距離は$(5-X)km$。

歩いた距離と走った距離、それぞれを移動するのにかかった時間を式に表すと、以下のようになる。

$$\dfrac{5-X}{6}・・・歩くのにかかった時間$$

$$\dfrac{X}{11}・・・走るのにかかった時間$$

$$【重要】距離÷速さ=時間$$

 

よって、地点Aから地点Bに移動するのにかかる時間は、

$$\dfrac{5-X}{6}+\dfrac{X}{11}$$

通分して

$$\dfrac{-5X+55}{66}$$

 

すなわち、地点Aをスタートしてから30分~45分で地点Bに到着したい場合、次の不等式が成立する

$$\dfrac{1}{2}≦\dfrac{-5X+55}{66}≦\dfrac{3}{4}・・・Ⓐ$$

$$※30分・45分はそれぞれ、\dfrac{1}{2}時間・\dfrac{3}{4}時間と表せる$$

てのひら先生
今回の単位は「時間(hour)」だということに注意しよう!

 

Ⓐより、各辺に$66$を掛けて

$$33≦-5X+55≦\dfrac{198}{4}$$

各辺に$4$を掛けて

$$132≦-20X+220≦198$$

各辺から$220$を引いて

$$-88≦-20X≦-22$$

最後に、各辺を$-20$で割ると

$$1.1≦X≦4.4・・・(答え)$$

 

問題③|複数種類の水溶液(名城大学 過去問)

ある物質を水で溶かした 1%、5%、10% の水溶液がある。これら2種または3種の水溶液を混ぜ合わせて、7.3% の水溶液を 100g作る場合、1%水溶液は何gまで使用することが可能か。また、10%水溶液の使用にはどのような制限があるか。
答え|