二次関数をたった3行で平行移動する方法|頻出問題の解き方も解説

高校数学が苦手な人「二次関数のグラフを3行くらいでパっと平行移動する方法ってありますか?二次関数問題を解くときはいつも「平方完成→頂点移動」の方法を利用しているのですが、計算量・ミスが増えてしまい困っています(分数が混ざると特に)

 

この記事では、こんな悩みを解決しています。

 

  • 本日の授業テーマ
二次関数をたった3行で平行移動する方法|頻出問題の解き方も解説

 

  • 本日の授業内容

 

二次関数の平行移動問題の解き方は、大きく2つあります。

しかし、計算量を少なく抑えてミスを減らせるという意味では、1つ目(平行移動の公式)を利用する方が圧倒的におススメですよ。

 

この記事を書いたのは誰?

この記事を書いている私は、受験指導歴8年の現役塾講師です。

出身は岩手県で、立命館大学に進学・卒業した後、大手塾講師として200人以上の中高生の勉強相談に答えてきました。

二次関数の平行移動問題|公式を利用する解き方

 

  • 二次関数の平行移動の公式(おさらい)

二次関数 $y=f(x)$ のグラフをx軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動して得られるグラフの方程式は、

$$y-q=f(x-p)$$

すなわち

$$y=f(x-p)+q$$

 

平行移動の公式を簡単に要約すると、「x軸方向に$p$、y軸方向に$q$」と言われたらそれぞれ

$$x→x-p$$

$$y→y-q$$

という形に置き換えて、元の式に代入すればOKという話です。

 

ぎもん君
なるほど….なんとなくわかりました!

てのひら先生
百聞は一見に如かずなので、まずは次の問題を一緒に解いてみましょう!

 

【例題】

$y=x²+2x+3$ のグラフをx軸方向に $3$、y軸方向に $3$ だけ平行移動したグラフの方程式をもとめよ。

 

まずは、元の式に代入する値を用意します。

今回は「x軸方向に $3$」と「y軸方向に $3$」なので、$x$ と $y$ の値はそれぞれ

$$x→\color{red}x-3$$

$$y→\color{red}y-3$$

 

次に、用意した値をもとの式に代入して

$$y=x^2+2x+3$$

$$\color{red}y-3\color{black}=(\color{red}x-3\color{black})^2+2(\color{red}x-3\color{black})+3$$

 

整理すると

$$y=x²-4x+9\color{red}(答え)$$

 

ぎもん君
ほんとに3行で解けた…

 

てのひら先生
問題文に「頂点を求めよ」と書いてあれば、ここからさらに平方完成などをして、頂点を求めてくださいね!

ぎもん君
二次関数の頂点ってどうやって求めるんだっけ?

てのひら先生
それは、次の章でわかりやすく解説しているよ!

目次に戻る

二次関数の平行移動問題|頂点に注目する解き方

 

  • 二次関数の頂点を求める公式(おさらい)

$y=ax²+bx+c$ を平方完成すると

$y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b²-4ac}{4a}$ となり、

このとき $\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b²-4ac}{4a}\right)$ が頂点となる。

てのひら先生
二次関数の $a,$ $b,$ $c,$ に対応する実数を上の公式に当てはめれば、複雑な計算をせずに頂点が求められる…というわけです!

 

問題に出てくる二次関数をいちいち平方完成してもいいんですが、ぶっちゃけ、公式を使った方が圧倒的に楽できます。

複雑な手順や計算が要らなくなるので、ケアレスミスも減りますしね!

 

ぎもん君
なるほど….公式暗記したほうが良さげですね!

てのひら先生
はい!
以下の例題も、公式を使って頂点を求めつつ、問題を解いていきますよ!

 

【例題】

$y=x²+2x+3$ のグラフをx軸方向に $3$、y軸方向に $3$ だけ平行移動したグラフの方程式をもとめよ。

 

まずは、平方完成の公式を使って二次関数の頂点を求めていきます。

$y=x²+2x+3$ に対応する $a,b,c$ の値はそれぞれ

$a=1,$ $b=2,$ $c=3$

 

よって頂点の座標は、平方完成の公式より

$$\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b²-4ac}{4a}\right)$$

$$\left(-\dfrac{2}{2(1)},-\dfrac{(2)^2-4(1)(3)}{4(1)}\right)$$

$$\left(-1,2\right)$$

 

続いて、二次関数を平行移動していきます。

「x軸方向に$3$、y軸方向に$3$ だけ平行移動…」ということは、二次関数の頂点も同じだけ移動しますよね。

 

よって、移動後の頂点は

$$移動前:\left(-1,2\right)$$

$$\left(-1\color{red}+3\color{black},2\color{red}+3\color{balck}\right)$$

$$移動後:\left(2,5\right)$$

 

また、$x^2$ の係数が $a$ で、頂点が $(p,q)$ の二次関数は次のように表せますよね?

$$y=a(x-p)^2+q$$

 

同様に、$x^2$ の係数が $1$ で、(移動後の)頂点が $\left(2,5\right)$ の二次関数は次のように表せるから

$$y=(x-2)^2+5$$

$$y=x^2-4x+9\color{red}(答え)$$

 

てのひら先生
ちなみに、今回の問題では「方程式を求めよ」としか述べられていないので、展開せず $y=(x-2)^2+5$ のまま答えとしても、間違いではありませんよ。

ぎもん君
でも正直、「頂点に注目する解き方」は手間がかかって面倒ですね…

てのひら先生
そうですね!
問題の二次関数が $y=ax²+bx+c$ という形の時は、平行移動の公式を使う解き方をした方が無難でしょう。

 

  • 平行移動問題の解き方|公式vs頂点 の使い分け
  • 頂点がすぐ分からない場合→公式の利用
    (ex:問題の二次関数が $y=ax^2+bx+c$ といった形のとき)
  • 頂点がすぐに分かる場合→頂点を利用
    (ex:頂点がグラフから読み取れる場合)

目次に戻る

二次関数の平行移動問題|練習問題を解いてみよう

 

最後に平行移動の練習問題を解いて、解き方を頭に定着させましょう。

 

今回は試験で頻出する、タイプの異なる3つの問題を用意しました。

3つともすべて解ければ、二次関数の平行移動問題はもう怖くありませんよ。

 

  • 二次関数の平行移動問題3つ
  1. 二次関数 $y=2x^2+4x$ のグラフをx軸方向に $1$、y軸方向に $-2$ だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ。
  2. 二次関数 $y=2x^2$ のグラフをx軸方向に $2$、y軸方向に $-3$ だけ平行移動したグラフを表す関数は $y=ax²+bx+c$ となる。$a,$ $b,$ $c$ に入る定数を求めよ。
  3. 二次関数 $y=2x^2-6x+1$ を平行移動すると、二次関数 $y=2x^2+10x+17$ にピッタリ重なった。どのように平行移動したのかを答えよ。

 

練習問題①の解説

二次関数 $y=2x^2+4x$ のグラフをx軸方向に $1$、y軸方向に $-2$ だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ。
答え|$y=2x²-4$

 

頂点がパッと分からない問題では、「二次関数の平行移動の公式」を使うことで素早く解けます。

 

今回は「x軸方向に $1$」と「y軸方向に $-2$」なので、

$$x→\color{red}x-1$$

$$y→y-(-2)=\color{red}y+2$$

 

次に、用意した値をもとの式に代入して

$$y=2x^2+4x$$

$$\color{red}y+2\color{black}=2(\color{red}x-1\color{black})^2+4(\color{red}x-1\color{black})$$

 

整理すると

$$y=2x²-4\color{red}(答え)$$

 

練習問題②の解説

二次関数 $y=2x^2$ のグラフをx軸方向に $2$、y軸方向に $-3$ だけ平行移動したグラフを表す関数は $y=ax²+bx+c$ となる。$a,$ $b,$ $c$ に入る定数を求めよ。
答え|$a=2,$ $b=-8,$ $c=5$

 

今回は頂点が $y=2x^2$ の頂点が $(0,0)$ であることが分かるので、「頂点に注目する解き方」を利用する。

 

平行移動する値は「x軸方向に $2$」と「y軸方向に $-3$」だから、移動後の頂点は

$$(2,-3)$$

 

これを方程式に表すと

$$y=2(x-2)^2-3$$

展開して

$$y=2(x^2-4x+4)-3$$

$$y=2x^2-8x+5$$

 

これを $y=ax^2+bx+c$ と比べると

$a=2,$ $b=-8,$ $c=5\color{red}(答え)$

 

練習問題③の解説

二次関数 $y=2x^2-6x+1\color{red}(A)$ を平行移動して、二次関数 $y=2x^2+10x+17\color{red}(B)$ にピッタリ重ねたい。どのように平行移動すればよいかを答えよ。
答え|x軸方向に $\color{red}-4$、y軸方向に$\color{red}8$ だけ平行移動すればよい。

 

$A$ と $B$ をそれぞれ平方完成して、移動前後の頂点を比較するという解き方もアリ。

しかしそれだと、平方完成する工程がやや手間である。

 

ぎもん君
でもじゃあ、他にどういった解き方があるの?

てのひら先生
平方完成が面倒なときは、次のような解き方を試してみましょう!

 

まずは、$A$ をx軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動した結果、$B$とピッタリ重なったと(仮定)する。

 

すると、平行移動後の$A$の方程式は、$p$ と $q$ と使って次のように表せる。

$$移動前:y=2x^2-6x+1$$

$$移動後:\color{red}y-q\color{black}=2(\color{red}x-p\color{black})^2-6(\color{red}x-p\color{black})+1$$

 

移動後の式を展開して整理すると

$$y=2x^2+(-4p-6)x+2p^2+6p+1+q$$

 

また、移動後の$A$は$B$と重なるため、$A$と$B$の「各係数」や「定数項」の値はそれぞれ一致する。

ゆえに以下が成り立つ。

$$-4p-6=10・・・①$$

$$2p^2+6p+1+q=17・・・②$$

 

$①$より、

$$\color{red}p=-4$$

 

$p=-4$ だから、$②$より

$$2p^2+6p+1+q=17$$

$$2(-4)^2+6(-4)+1+q=17$$

$$\color{red}q=8$$

 

したがって、x軸方向に $\color{red}-4$、y軸方向に$\color{red}8$ だけ平行移動すればよい。

 

 

以上で今日の授業は終了!

さて、今回学んだ「二次関数の平行移動の公式」がどういうものか、何も見ずに説明でるかな?

 

30秒以内に思い出せないのなら、以下リンクから再度復習してみると良いでしょう。

 

平行移動の公式を復習する

目次に戻る

 

ぎもん君
思い出せないので、復習してから帰ります!
ありがとうございました。