二次関数の対象移動とは?x軸、y軸、原点対称で使える公式も紹介

 

  • 二次関数を対象移動する方法
  • x軸に関して対称移動:$y=-f(x)$

例:$y=x^2+2x+3$ → $\color{blue}y=-(x^2+2x+3)$

  • y軸に関して対称移動:$y=f(-x)$

例:$y=x^2+2x+3$ → $\color{blue}y=(-x)^2+2(-x)+3$

  • 原点に関して対称移動:$y=-f(-x)$

例:$y=x^2+2x+3$ → $\color{blue}y=-\left[(-x)^2+2(-x)+3\right]$

ぎもん君
これが対象移動の公式か~!

てのひら先生
宿題の問題を解くだけなら、公式を暗記して利用すればOK!

てのひら先生
ここから先は、この公式が成り立つ理由・原理についてわかりやすく解説していくよ!

 

 

  • 本日の授業内容
  • x軸に関して対称移動する方法
  • y軸に関して対称移動する方法
  • 原点に関して対称移動する方法
  • 対称移動の練習問題を解いてみよう

 

ここからは「なぜ上の公式が成り立つのか?」をわかりやすく解説していきます。

対称移動の公式の仕組みはとても簡単ですし、二次関数の根本理解にもつながります。

 

てのひら先生
公式の仕組みを理解すれば、公式を暗記する必要もなくなりますよ!

 

高校1年生の方は、今後も二次関数・二次方程式・二次不等式….と、なにかと二次式にお世話になります。

ぜひこの記事を最後まで読んで、二次関数分野攻略の糸口をつかんでください!

 

二次関数グラフをx軸に関して対称移動する方法

 

  • 対称移動の注目ポイント(x軸 ver)
  1. x座標は変化しない(軸は動かない)
  2. y座標の符号が反転

 

この2点を、実数を使って確認してみましょう。

二次関数の頂点に注目すると、理解しやすいと思いますよ。

     

     

    二次関数グラフというのは、いわば「点の集合体」です。

    ゆえに、グラフ上の一点(例えば頂点)が、x軸に関して対称移動すれば、グラフ上のその他の点も同じように移動します。

     

    ぎもん君
    なるほど~!

    ぎもん君
    今までは「グラフが反転した!」という見方をしてたけど、正確には「すべての点がx軸対称に移動した結果、グラフが反転した」ということですね!

    てのひら先生
    「グラフの移動とは、点の移動」
    まさにそのとおりです!

     

    x軸に関して対称移動する場合は、x座標は変化せず、y座標の符号が反転するので

    $$\color{red}-y\color{black}=f(x)$$

    $$\color{red}y=-f(x)$$

    ※$f(x)はxの関数部分(例:x^2+2x+2)を意味する$

     

    といった具合に、公式が導き出されるわけですね。

     

    二次関数グラフをy軸に関して対称移動する方法

     

    • 対称移動の注目ポイント(y軸 ver)
    1. x座標の符号が反転
    2. y座標は変化しない

     

    この2点を実数を使って確認してみましょう。

    ここでもまた二次関数の「頂点」に注目することで、スッと理解できますよ。

     

     

    y軸に関して対称移動する場合は、y座標は変化せず、x座標の符号が反転するので

    $$y=f(\color{red}-x\color{black})$$

    $$\color{red}y=f(-x)$$

    ※$f(-x)は関数に-xを代入するという意味$

     

    二次関数グラフを原点に関して対称移動する方法

     

    • 対称移動の注目ポイント(原点 ver)
    1. x座標の符号が反転
    2. y座標の符号も反転

     

    要は、ここまでに紹介した「x軸対称移動」と「y軸対称移動」を、それぞれ1回ずつすればOK。というわけです。

    これも、二次関数の頂点に注目することで理解しやすくなりますよ。

     

     

    原点に関して対称移動する場合は、y座標もx座標も符号が反転するので

    $$\color{red}-y\color{black}=f(\color{red}-x\color{black})$$

    $$\color{red}y=-f(-x)$$

     

    以上で、対象移動の方法についての解説は終了です。

    今日覚えたことをしっかりと定着させたい方は、ぜひ、下で紹介している「練習問題」も解いてみてください!

     

    てのひら先生
    練習問題は暗算で解けるレベルなので、気軽にチャレンジしてくださいね!

    てのひら先生
    では最後に、今日覚えたことをまとめましょう!

     

    • 【二次関数】対象移動の公式まとめ
    • x軸に関して対称移動→$\color{blue}y=-f(x)$
    • y軸に関して対称移動→$\color{blue}y=f(-x)$
    • 原点に関して対称移動→$\color{blue}y=-f(-x)$

     

    【二次関数】対象移動の練習問題を解いてみよう

    $y=x^2+2x+5$ を以下のように移動したとき、移動後の式を求めよ。

    ①x軸に関して対称移動
    ②y軸に関して対称移動
    ③原点に関して対称移動

    答え|
    ①$y=-x^2-2x-5$
    ②$y=x^2-2x+5$
    ③$y=-x^2+2x-5$

    問題解説|x軸に関して対称移動

    x軸に関して対称移動する公式は $\color{blue}y=-f(x)$ なので、

    $$y=-(x^2+2x+5)$$

    $$y=-x^2-2x-5\color{red}(答え)$$

     

    問題解説|y軸に関して対称移動

    y軸に関して対称移動する公式は $\color{blue}y=f(-x)$ なので、

    $$y=(-x)^2+2(-x)+5$$

    $$y=x^2-2x+5\color{red}(答え)$$

     

    問題解説|原点に関して対称移動

    原点に関して対称移動する公式は $\color{blue}y=-f(-x)$ なので、

    $$y=-\left[(-x)^2+2(-x)+5\right]$$

    $$y=-(x^2-2x+5)$$

    $$y=-x^2+2x-5\color{red}(答え)$$

     

    二次関数の対象移動を理解したなら、お次は「平行移動」へ進みましょう。

    てのひら先生
    二次関数の平行移動問題は、試験・模試などで”対象移動問題よりも”出題されることが多い分野です。

    ぎもん君
    数学が苦手な僕でも、大丈夫ですか…?

    てのひら先生
    もちろんです!

     

    》参考:二次関数をたった3行で平行移動する方法|頻出問題の解き方も解説