学校では教わらない二次関数のグラフの書き方【書き直しを防ぐ】

 

数学が苦手な人
何度も消しゴムで修正せずにすむ、グラフの書き方が知りたい!

数学が苦手な人
二次関数の最大最少問題や、共有点・解の個数問題でも使える、グラフの書き方ってありますか?

てのひら先生
この記事では、このような疑問に答えているよ!

 

  • 本記事の内容

 

二次関数のグラフを速攻で書く手順

 

  • 二次関数のグラフに必要な情報
  • 原点
  • 頂点座標
  • グラフの軸
  • x軸とグラフの交点(x切片)
  • y軸とグラフの交点(y切片)

 

ぶっちゃけ、上記5つの情報が明確に示されていれば、グラフの書き方はなんでもOK。

 

ただし今回は、より効率的に二次関数のグラフを書く手順を紹介します。

手順は全部で5つあります。

 

  • 二次関数のグラフの書き方
  • 手順①:平方完成で頂点の「座標」「軸」を求める
  • 手順②:$x^2$ の係数を確認し「上凸」か「下凸」かを判断
  • 手順③:ここまでで分かったことを図に表す
  • 手順④:「頂点」と「y軸」の関係を図に書き込む
  • 手順⑤:「頂点」と「x軸」の関係を図に書き込む

てのひら先生
一見 複雑ですが、ややこしい計算は一切ありません。
二次関数のグラフは、慣れれば10秒ほどで書けるようになりますよ!

 

ここからは以下の二次関数を使って、グラフの書き方を解説していきます。

 

$${\large y=x^2+6x+8}$$

 

手順①:平方完成で頂点の「座標」「軸」を求める

$${\large y=x^2+6x+8}$$

 

まずは二次関数の頂点座標を求めていきます。

平方完成を使ってもよし、公式を利用してもよしなので、お好きな方法を選択してください。

 

【平方完成する方法】

$$y=x^2+6x+8$$

$$=(x+3)^2-9+8$$

$$=(x+3)^2-1$$

 

よって頂点、軸はそれぞれ

$$\color{red}頂点\color{black}:(-3,-1)$$

$$\color{red}軸\color{black}:x=-3$$

 

【公式を利用する方法】

$y=ax^2+bx+c$ の頂点のx座標(軸)が次のように表されることを利用する。

$$x=-\dfrac{b}{2a}$$

よって、軸は

$$x=-\dfrac{6}{2(1)}$$

$$\color{red}軸\color{black}:x=-3$$

 

$x=-3$ を $y=x^2+6x+8$ に代入すると

$$y=(-3)^2+6(-3)+8$$

$$y=-1$$

よって頂点座標は

$$\color{red}頂点\color{black}:(-3,-1)$$

 

手順②:二次の係数を確認し「上凸」か「下凸」かを判断

$${\large y=x^2+6x+8}$$

 

続いては $x^2$ の係数を確認し、グラフの向きが「上凸」か「下凸」かを判断します。

今回の場合、$x^2$ の係数は $1$ ですので、グラフの向きは「下凸」ですね!

 

ぎもん君
二次関数の場合、$x^2$の係数が正の数なら「下凸」、負の数なら「上凸」になるんだったよね!

 

手順③:ここまでで分かったことを図に表す

ここからは、いよいよ実際にグラフを書いていきます。

ここまでに分かっている情報は次の通り。

 

  • 頂点座標は $(-3,-1)$
  • グラフの軸は $x=-3$
  • グラフの向きは下凸

 

これらの情報を図に表すと、、、

 

 

ぎもん君
あれ?x軸やy軸がありませんよ!

てのひら先生
x軸やy軸は、グラフ作成の「最後の工程」です。

てのひら先生
切片(軸とグラフの交点)の情報が分かっていない今の段階で「x軸・y軸」を書いてしまうと、後で修正する必要が出てきかねないので!

 

手順④:「グラフとy軸」の関係を図に書き込む

続いては、グラフとy軸の関係を先ほどの図に書き込んでいきます。

 

【書き込む情報】

  • グラフとy軸の交点(y切片)の位置
  • グラフの軸とy軸の大小関係

 

y切片の座標は、$y=x^2+6x+8$ に $x=0$ を代入することで求められます。

$$y=(0)^2+6(0)+8$$

$$y=8\color{red}(y切片)$$

 

グラフの軸は $x=-3$、y軸は $x=0$ だから、両者の大小関係は

$$グラフ軸<y軸\color{red}(大小関係)$$

 

以上2つの情報をグラフに書き込むと、、、

 

 

手順⑤:「グラフとx軸」の関係を図に書き込む

最後に、グラフとx軸の関係を先ほどの図に書き込んでいきます。

 

【書き込む情報】

  • グラフとx軸の交点(x切片)の位置
  • 頂点のy座標とx軸の大小関係

 

x切片の座標は、$y=x^2+6x+8$ に $y=0$ を代入することで求められます。

$$0=x^2+6x+8$$

$$0=(x+2)(x+4)$$

$$x=-2,-4\color{red}(x切片)$$

 

頂点のy座標は $y=-1$、x軸は $y=0$ だから、両者の大小関係は

$$頂点のy座標<x軸\color{red}(大小関係)$$

 

以上2つの情報をグラフに書き込むと、、、

 

 

これで二次関数グラフの完成です。

グラフの書き方をまとめると、こんな感じ。

 

 

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二次関数のグラフの書き方|x軸とy軸は最後に書こう

 

今回用意した二次関数のグラフ問題は2つ。

ぜひ、いったんここでスクロールを止めて、問題にチャレンジしてみてください!

てのひら先生
どちらも高校の数学教師が好んで出題するタイプの問題ですので、効果的なテスト対策にもなりますよ!

 

  • 二次関数のグラフを書いてみよう
  • 練習問題①
    $y=-2x^2+x+1のグラフを書きなさい。$
  • 練習問題②
    $y=ax^2+bx+cのグラフが下図のように表されるとき、次の式の符号を求めなさい。$
    $(1)a$
    $(2)b$
    $(3)c$
    $(4)a+b+c$
    $(5)a-b+c$
    $(6)b^2-4ac$

 

練習問題①の解説

$y=-2x^2+x+1のグラフを書きなさい。$
【答え】画像

 

まずは、頂点の座標と軸を求めよう。

今回は平方完成で頂点座標を求めるが、公式を利用して求めてもOK。公式解説

 

$$y=-2x^2+x+1$$

$$=\color{red}-2\left(x^2-\dfrac{1}{2}x\right)\color{black}+1$$

$$=-2\color{red}\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2+2\left(\dfrac{1}{4}\right)^2\color{black}+1$$

$$=-2\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2\color{red}+\dfrac{9}{8}$$

 

よって頂点と軸はそれぞれ

$$頂点:\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{9}{8}\right)$$

$$軸:x=\dfrac{1}{4}$$

 

次に $x^2$ の係数を確認し、グラフの向きが「上に凸」か「下に凸」かを判断する。

今回、$x^2$ の係数は $-2$ だから、$y=-2x^2+x+1$ は上に凸のグラフであることが分かる。

 

以上の情報を図に表すと、こうなる。

 

ぎもん君
この段階ではまだ、x軸 y軸は書き込まない方が良いんでしたよね!

てのひら先生
その通りです。
今の段階で書き込むと、あとから修正する必要も出てきてしまいますので!

 

ここまでくれば、あとは上記の図に「x軸」「y軸」との関係を書き込めばいい。

 

  • $x=0$ のとき $y=1(y切片=1)$
  • 頂点のx座標は正の数
  • 頂点のy座標は正の数

 

この3点をグラフに書き込むと、こうなる。

 

てのひら先生
テストなどで何度もグラフを書き直す人が多いけど、それは「x軸 y軸を先に書き込んでいるから」なんだ。

ぎもん君
確かに。。。
どうしても、x軸 y軸を先に書きたくなっちゃう。

てのひら先生
気持ちはわかるよ(笑)
ただ、上凸下凸を確認してからでも遅くないし、その方が効率的だってことは覚えておこうね!

 

練習問題②の解説

$y=ax^2+bx+cのグラフが(A)のように表されるとき、次の式の符号を求めなさい。$
$(1)a$
$(2)b$
$(3)c$
$(4)a+b+c$
$(5)a-b+c$
$(6)b^2-4ac$

【答え】
$(1)a>0$
$(2)b<0$
$(3)c<0$
$(4)a+b+c=0$
$(5)a-b+c>0$
$(6)b^2-4ac>0$

(1)の解説

 

下に凸のグラフだから、$a$ の値はプラスということになる。

$$a>0\color{red}(答え)$$

 

(2)の解説

軸の公式より、グラフの軸は次のように表せる

$$x=-\dfrac{b}{2a}$$

 

図を見ると「y軸<グラフの軸」という関係性が分かるため、

$$-\dfrac{b}{2a}>0$$

よって

$$b<0\color{red}(答え)$$

 

(3)の解説

$c$ はy切片であり、y切片は原点より下にあるため

$$c<0\color{red}(答え)$$

 

ぎもん君
y切片って、グラフとy軸との交点のことですよね?
なんで $c$ がy切片になるんですか?

てのひら先生
y軸上の点は常に $x=0$ ですから、$y=ax^2+bx+c$ に $x=0$ を代入してでる値($c$)がy切片ということになります。

 

(4)の解説

問題のグラフを見てみると、グラフとx軸との交点(x切片)が $(1,0)$ であることが分かる。

 

$y=ax^2+bx+c$ に $x=1$ を代入すると

$$y=a(1)^2+b(1)+c$$

$$=a+b+c$$

 

$y=0$ であるから、すなわち

$$a+b+c=0\color{red}(答え)$$

 

(5)の解説

先ほどは $x=1$ を代入したが、今回は $x=-1$ を代入して答えを求めていく。

 

$y=ax^2+bx+c$ に $x=-1$ を代入すると

$$y=a(-1)^2+b(-1)+c$$

$$=a-b+c$$

 

ここでグラフをみると、$x=-1$ の位置は明確に示されていないことが分かる。

しかし、原点と $x=1$ の距離感から、大体の位置を推測することができる。

 

 

上の図より、$x=-1$ の時 $y>0$ であることが分かるから

$$a-b+c>0\color{red}(答え)$$

 

(6)の解説

$y=ax^2+bx+c$ を平方完成すると、頂点座標は次のように表せる。

$$\left(-\dfrac{b}{2a},\color{red}-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\color{black}\right)$$

 

てのひら先生
$y=ax^2+bx+c$ の平方完成については、以下の記事でわかりやすく解説しているよ!

》参考:平方完成を10秒で終わらせるコツと方法|基本+簡単なやり方を解説

 

グラフを見ると、頂点のy座標が負であることが分かるから、

$$-\dfrac{b^2-4ac}{4a}<0$$

$$\dfrac{b^2-4ac}{4a}\color{red}>\color{black}0$$

(1)より $a>0$ であるから、両辺に $4a$ を掛けて

$$b^2-4ac>0\color{red}(答え)$$

 

また別解として、(1)(2)(3)で明らかになった$a,$ $b,$ $c$ の符号を $b^2-4ac$ に当てはめることでも、答えが求められる。

$$(負)^2-4(正)(負)>0$$

 

まとめ|二次関数グラフの書き方

 

以上で、今回の授業は終了だ。

 

今回紹介した2つの問題(特に2問目)は、高校の先生が校内模試などで頻繁に出題する問題の一つだ。

この記事を何度も復習したり類似問題を解くことで、二次関数に対する理解がより深まり、効果的な試験対策になることは間違いないだろう。

 

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