平方完成を10秒で終わらせるコツと方法｜基本＋簡単なやり方を解説

最初は文字式で考えてみよう。$$y=ax²+bx+c$$

事前に平方完成の完成形を作っておく。

$$=a(x・・・)²+c$$

$$・・・は空欄の意味$$

第一に、$x²$ の係数の逆数と $x$ の係数の半分を掛ける。

$$\dfrac{1}{a}×\dfrac{b}{2}$$

$$\dfrac{b}{2a}$$

その結果を、完成形の $()$ の中に書き込むと、

$$=a\left(x\color{red}+\dfrac{b}{2a}\color{black}\right)^2+c$$

第二に、$x$ の係数の半分と $()$ の中の数字を掛ける

$$\dfrac{b}{2}×\dfrac{b}{2a}$$

$$\dfrac{b²}{4a}$$

それを定数項と引き算すると

$$=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\color{red}+c-\dfrac{b²}{4a}$$

$$a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\color{red}-\dfrac{b²}{4a}+c$$

$$=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b²-4ac}{4a}$$

最後の行の式は、そのまま「平方完成の公式」としても利用でき、以上の計算が正しいことが分かる。

$y=ax²+bx+c$ を平方完成すると

$y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b²-4ac}{4a}$ となり、

このとき $\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b²-4ac}{4a}\right)$ が頂点となる。

じゃあ次は、実数を使ってやってみよう。$$y=2x²+4x+3$$

事前に平方完成の完成形を作っておく。

$$=2(x・・・)²+3$$

$$・・・は空欄の意味$$

第一に、$x²$ の係数の逆数と $x$ の係数の半分を掛ける。

$$\dfrac{1}{2}×\dfrac{4}{2}$$

$$1$$

その結果を、完成形の $()$ の中に書き込むと、

$$=2\left(x\color{red}+1\color{black}\right)^2+3$$

第二に、$x$ の係数の半分と $()$ の中の数字を掛ける

$$\dfrac{4}{2}×1$$

$$2$$

それを定数項と引き算すると

$$=2\left(x+1\right)^2\color{red}+3-2$$

$$=2\left(x+1\right)^2+1$$

以上が、平方完成の裏ワザ的やり方だ。

まずは $x²$ の係数 $a$ で、$ax²+bx$ をくくる。$$y=a\left(x²+\dfrac{b}{a}x\right)+c$$

次に $x$ の係数である $\dfrac{b}{a}$ の半分 $\dfrac{b}{2a}$ の平方 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ を勝手に作って加え、勝手に加えた分を引く。

$$=a\left[x²+\dfrac{b}{a}x+\color{red}\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]+c$$

このとき、以下の赤字部分に注目すると、$s²+2st+t²$ のような形が見えてくる。

$$=a\left[\color{red}x²+\dfrac{b}{a}x+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\color{black}-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]+c$$

赤字部分を$s²+2st+t²=(s+t)²$ のように、無理やり因数分解する。

$$=a\left[\color{red}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\color{black}-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]+c$$

最後に、余計な $-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ をカッコの外に出して、計算したら完了だ。

$$=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\color{red}-a\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+c$$

$$=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\color{red}-\dfrac{b²}{4a}+c$$

$$=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b²-4ac}{4a}$$

• 手順①：$x²$の係数で$x²$と$x$をくくる
• 手順②：無理やり因数分解して$(s+t)²$の形を作る
• 手順③：勝手に作った数字を{ }の外に出して計算する

$y=ax²+bx+c$ を平方完成すると

$y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b²-4ac}{4a}$ となり、

このとき $\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b²-4ac}{4a}\right)$ が頂点となる。

まずは $x²$ の係数 $2$ で、$2x²+4x$ をくくる。

$$y=\color{red}2(x²+2x)\color{black}+3$$

$x$ の係数 $2$ の半分の $1$ の平方 $(1)²$ を勝手に作って加え、加えた分を引く。

$$=2\left[x²+2x+\color{red}(1)^2-(1)^2\color{black}\right]+3$$

この時、$x²+2x+1$ に注目すると、$(x+1)²$ に因数分解できるのが分かる。

$$=2\left[\color{red}x²+2x+\color{red}(1)^2\color{black}-(1)^2\right]+3$$

$x²+2x+1$を、因数分解する。

$$=2\left[\color{red}(x+1)^2\color{black}-(1)^2\right]+3$$

最後に、余計な$-1$ をカッコの外に出して、計算したら完了だ。

$$=2(x+1)^2\color{red}-2+3$$

$$=2(x+1)^2+1・・・（答え）$$

• $y=x²-2x+5$の頂点の座標を求めよ
• $y=2x²+8x-5$の頂点の座標を求めよ
• $y=\dfrac{1}{2}x²+x-1$の頂点の座標を求めよ

$$y=x²-2x+5$$

$x$ の係数 $-2$ の半分 $-1$ の平方 $1²$ を作って加え、加えた分を引くと

$$=(x²-2x+1²-1²)+5$$

$x²-2x+1²$ に注目して因数分解すると

$$=\{(x-1)²-1²\}+5$$

最後に、余計な $-1²$ を外に出して計算すると

$$=(x-1)²+4・・・（答え）$$

$$y=2x²+8x-5$$

$x²$ の係数 $2$ で、$2x²+8x$ をくくると

$$=2(x²+4x)-5$$

$x$ の係数 $4$ の半分 $2$ の平方 $2²$ を作って加え、加えた分を引くと

$$=2(x²+4x+2²-2²)-5$$

$x²+4x+2²$ に注目して因数分解すると

$$=2\{(x+2)²-2²\}-5$$

最後に、余計な $-2²$ を外に出して計算すると

$$=2(x+2)²-13・・・（答え）$$

$$y=\dfrac{1}{2}x²+x-1$$

$x²$ の係数 $\dfrac{1}{2}$ で、$\dfrac{1}{2}x²+x$ をくくると

$$=\dfrac{1}{2}(x²+2x)-1$$

$x$ の係数 $2$ の半分 $1$ の平方 $1²$ を作って加え、加えた分を引くと

$$=\dfrac{1}{2}(x²+2x+1²-1²)-1$$

$x²+2x+1²$ に注目して因数分解すると

$$=\dfrac{1}{2}\{(x+1)²-1²\}-1$$

最後に、余計な $-1²$ を外に出して計算すると

$$=\dfrac{1}{2}(x+1)²-\dfrac{1}{2}-1$$

$$=\dfrac{1}{2}(x+1)²-\dfrac{3}{2}・・・（答え）$$